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news 2025/7/2 19:48:09

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决策树是一种树形结构的机器学习模型，适用于分类和回归任务。它通过一系列基于特征的条件判断来将数据分割为多个子区域，从而预测目标变量的值。

1. 决策树的结构

根节点（Root Node）
- 决策树的起点，包含所有样本。
- 根据某个特征的分割规则分裂。
内部节点（Internal Nodes）
- 每个节点表示一次分割（划分标准）。
- 根据特定特征及阈值分裂为子节点。
叶子节点（Leaf Nodes）
- 决策树的终点，包含分类结果或回归预测值。

2. 决策树的构造

划分准则（分裂规则）

构造决策树的核心是选择最优的特征和阈值进行分裂，常用的准则包括：

分类问题：
- 信息增益（Information Gain）：
  - $H(D)$ ：分裂前的熵。
  - $H(D_i)$ ：分裂后每个子集的熵。
- 基尼指数（Gini Index）：
  - $p_k$ ：样本属于第 k 类的比例。
  - 决策树选择使基尼指数下降最多的分裂。
回归问题：
- 均方误差（Mean Squared Error, MSE）： $MSE = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (y_i - \hat{y})^2$

3. 决策树算法

ID3 算法
- 使用信息增益作为分裂准则。
- 适用于分类问题。
C4.5 算法
- 改进 ID3，支持连续特征。
- 使用信息增益比作为分裂准则。
CART（Classification and Regression Tree）
- 适用于分类和回归。
- 分类使用基尼指数，回归使用均方误差。

4. 决策树的优缺点

优点

易解释：规则清晰，直观理解。
无需特征缩放：对特征的分布和尺度不敏感。
可处理非线性关系：通过分裂捕捉复杂的非线性关系。

缺点

易过拟合：树过深会导致模型对训练数据拟合过度。
对噪声敏感：数据中的异常值可能显著影响树的结构。
不稳定性：小的变化可能导致树结构发生较大改变。

5. 决策树的剪枝

为了防止过拟合，决策树通常需要剪枝：

预剪枝（Pre-Pruning）：
- 在构造时提前停止分裂。
- 条件：达到最大深度、节点样本数小于阈值、分裂带来的增益不足。
后剪枝（Post-Pruning）：
- 先构造完整树，再从底部向上剪枝。
- 剪枝条件：剪枝后误差降低或复杂度减少。

6. 决策树在分类与回归中的应用

分类问题

用于多类别或二分类任务。
叶子节点存储类别标签。

回归问题

用于预测连续值。
叶子节点存储预测值（通常为均值）。

7. 决策树的实现

分类问题

from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score# 加载数据
iris = load_iris()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(iris.data, iris.target, test_size=0.3, random_state=42)# 创建决策树分类器
clf = DecisionTreeClassifier(criterion="gini", max_depth=3, random_state=42)
clf.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = clf.predict(X_test)
print("Accuracy:", accuracy_score(y_test, y_pred))

输出结果

Accuracy: 1.0

回归问题

from sklearn.tree import DecisionTreeRegressor
from sklearn.datasets import make_regression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error# 生成数据
X, y = make_regression(n_samples=100, n_features=1, noise=0.1, random_state=42)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)# 创建决策树回归器
reg = DecisionTreeRegressor(criterion="squared_error", max_depth=3, random_state=42)
reg.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred = reg.predict(X_test)
print("MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred))

输出结果

MSE: 36.28620386292295

8. 决策树的可视化

代码示例

import numpy as np
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier, plot_tree
import matplotlib.pyplot as pltiris = load_iris()
clf = DecisionTreeClassifier(random_state=1234)
model = clf.fit(iris.data, iris.target)# 将 iris.target_names 转换为列表
class_names_list = list(iris.target_names)plot_tree(clf, feature_names=iris.feature_names, class_names=class_names_list, filled=True)
plt.show()