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news 2025/7/2 13:47:17

申请商标官网,seo实战密码第四版pdf,微信购物网站开发,网站开发流程图最WKB方法用于研究一种特定类型的微分方程的全局性质很有用这种特定的微分方程形如： 经过一些不是特别复杂的推导，我们可以得到他的WKB近似解。该近似解的选择取决于函数和参数的性质同时，我们默认函数的定义域为当恒大于零,时： 当…

WKB方法用于研究一种特定类型的微分方程的全局性质
- 很有用
- 这种特定的微分方程形如：

$y''+[\lambda^2q_1(x)+q_2(x)]y=0$

经过一些不是特别复杂的推导，我们可以得到他的WKB近似解。
- 该近似解的选择取决于函数 $q_1(x)$ 和参数 $\lambda$ 的性质
- 同时，我们默认函数的定义域为 $[0,+\infty)$
当 $q_1(x)$ 恒大于零, $\lambda\rightarrow +\infty$ 时：

$y=\frac{1}{q_1^{\frac{1}{4}}(x)}\begin{pmatrix} a\cdot cos(\lambda \int_0^x\sqrt{q_1(\tau)}d\tau)+b\cdot sin(\lambda\int_0^x\sqrt{q_1(\tau)}d\tau) \end{pmatrix}$

当 $q_1(x)$ 恒小于零, $\lambda\rightarrow +\infty$ 时：

$y=\frac{1}{[-q_1(x)]^{\frac{1}{4}}} \begin{pmatrix} a\cdot ch(\lambda \int_0^x\sqrt{-q_1(\tau)}d\tau)+b\cdot sh(\lambda\int_0^x\sqrt{-q_1(\tau)}d\tau) \end{pmatrix}$

注：很快你会发现两个问题
- a 和 b 是怎么确定的
  - 答：初始条件
- \lambda 趋于正无穷并不意味着只有 \lambda 很大才能使得该WKB 近似真实
当存在一个或者多个零点时，函数的WKB近似会变得非常的复杂
- 我们一会再看

WKB 近似案例 1

该案例选取自参考文献【1】P137 例5.1.1

$\begin{matrix} y''=\lambda^2Q(x)y\\ y(0)=0,y'(0)=1\\ Q(x)=(1+x^2)^2 \end{matrix}$

我们相信它的WKB近似为 $y\sim \frac{1}{\lambda (1+x^2)^{\frac{1}{2}}}sh(\lambda\cdot(x+\frac{x^3}{3}))$
我们使用四阶Runge-Kutta方法求解

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import fsolveclass odessolver():def __init__(self, f, Y_start=np.array([0, 1]), dY_start=np.array([0, 0]), \X_start=0, X_end=1, h=0.01):self.f = fself.h = hself.X = np.arange(X_start, X_end, self.h)self.n = Y_start.sizeself.Y = np.zeros((self.n, self.X.size))#第一个参数表示元 第二个参数表示变量self.Y[:, 0] = Y_startself.Y[:, 1] = Y_start + self.h * dY_startself.tol = 1e-6def __str__(self):return f"y'(x) = f(x) = ({self.f}) variables"def RK4(self):for i in range(1, self.X.size):k1 = self.f(self.X[i-1]           , self.Y[:, i-1])k2 = self.f(self.X[i-1] +self.h/2 , self.Y[:, i-1]+1/2*self.h*k1)k3 = self.f(self.X[i-1] +self.h/2 , self.Y[:, i-1]+1/2*self.h*k2)k4 = self.f(self.X[i-1] +self.h   , self.Y[:, i-1]+    self.h*k3)self.Y[:, i] = self.Y[:, i-1] +self.h/6 * (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)return self.Ydef IRK4(self):for i in range(1, self.X.size):def f1(k1, k2):f1_x = self.X[i-1] + self.h*(3-3**0.5)/6f1_y = self.Y[:, i-1]+k1/4*self.h+(3-2*3**0.5)/12*k2*self.hf1_res = self.f(f1_x, f1_y)return np.array([f1_res[i] for i in range(self.n)])def f2(k1, k2):f2_x = self.X[i-1] + self.h*(3+3**0.5)/6f2_y = self.Y[:, i-1]+k2/4*self.h+(3+2*3**0.5)/12*k1*self.hf2_res = self.f(f2_x, f2_y)return np.array([f2_res[i] for i in range(self.n)])              def func(k):k1 = np.array([k[i] for i in range(self.n)])k2 = np.array([k[i+self.n] for i in range(self.n)])doc = []for i in range(self.n):doc.append((k1 - f1(k1, k2))[i])for i in range(self.n):doc.append((k2 - f2(k1, k2))[i])return docsol = fsolve(func, np.zeros(self.n*2))self.Y[:, i] = self.Y[:, i-1] + 1/2 * self.h * (sol[:self.n] + sol[self.n:])return self.YA = 0 
B = 1
Lambda = 1
Q = lambda x:(1+x**2)**2
Y0 = np.array([A, B])def test_fun(x, Y):   return np.array([Y[1], Lambda**2 * Q(x) * Y[0]])c = odessolver(test_fun, Y_start=Y0)
x = np.arange(0, 1, 0.01)y3 = c.RK4()
x = np.arange(0, 1, 0.01)
plt.plot(x, y3[0, :], label="RK4")##y4 = c.IRK4()
##x = np.arange(0, 1, 0.01)
##plt.plot(x, y4[0, :], label="IRK4")WKB = lambda x:1/(Lambda*(1+x**2)**0.5)*(np.exp(x+x**3/3)-np.exp(-(x+x**3/3)))/2
plt.plot(x, WKB(x), label="WKB")plt.legend()
plt.pause(0.01)